万隆高中　高三数学周测

试题分析
一题一页

19 道题 · 每题一页 · 题干配图，该动的地方能拖能调
第 1 题　单选题 · 5 分
已知集合 A = { x ∈ Z | |x − 2| ≤ 3 }，B = { x | x² − 5x + 4 < 0 }，则 A ∩ B 的元素个数为（　　）
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
答案　B　A ∩ B = {2, 3}
第 2 题　单选题 · 5 分
已知 z − z = 2i，z · z = 1，则 1z =（　　）
A．−1　　B．1　　C．−i　　D．i
答案　C　设 z = a + bi，则 b = 1，a² + b² = 1
第 3 题　单选题 · 5 分
已知 a = (1, √3)，b = (cos α, sin α)，其中 0 < α < π．若 a ∥ (a + b)，则 α =（　　）
A．π6　　B．π4　　C．π3　　D．3π4
答案　C　拖动外圈上的 b：两向量共线时自动亮起
90°
第 4 题　单选题 · 5 分
已知数列 {an} 的通项公式为 an = n² − kn + 5，则“{an} 为单调递增数列”是“k ≤ 2”的（　　）
A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件
C．充分必要条件　　　　D．既不充分也不必要条件
答案　B　每步的增量是 2n + 1 − k，看首项
3
第 5 题　单选题 · 5 分
已知 0 < α ≤ β < π2，且 α + β = π6，则
1sin α cos β + 1cos α sin β
的最小值为（　　）
A．2　　B．4　　C．8　　D．8√3
答案　C　α = β = π12 时取到
15.0°
第 6 题　单选题 · 5 分
在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为 P(z) = P0e−αz，其中 P0 为初始光功率，α 为衰减系数，z 为距离（单位：km）．
已知距离 3.5 km 处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的 √24，则此处到发射器的距离为（　　）
A．7.5 km　B．5.25 km　C．3.75 km　D．2.05 km
答案　B
第 7 题　单选题 · 5 分
已知等比数列 {an} 的首项为 3，公比为 2．在 ak 与 ak+1 之间插入 k 个 1（k ∈ N*），所有项依原顺序组成新数列 {bn}，则 {bn} 的前 25 项和为（　　）
A．202　B．204　C．206　D．208
答案　D　前 25 项里 a 只出现了 6 个：3, 6, 12, 24, 48, 96
第 8 题　单选题 · 5 分
已知函数 f(x) = x + ax（a > 0），过点 A(1, 0) 作曲线 y = f(x) 的两条切线，切点为 M，N．若 AM ⊥ AN，则 a =（　　）
A．14　B．12　C．1　D．2
答案　A　把 a 拖到垂直亮起的那一刻
0.60
第 9 题　多选题 · 6 分
下列说法正确的有（　　）
A．y = √x² + 2 + 1√x² + 2 的最小值为 2
B．x > 1 时，y = 2x + 4x − 1 − 1 的最小值为 4√2 + 1
C．正数 x, y 满足 x + 2y = 3xy，则 2x + y 的最小值为 3
D．x > 0, y > 0 且 2x + y = 1，则 √2x + √y 的最大值为 2
答案　BC　四格图里，虚线是选项声称的值，看得见够不够得着
第 10 题　多选题 · 6 分
已知函数 f(x) = sin 2x + √3 cos 2x，则下列结论正确的是（　　）
A．最小正周期为 π
B．图象关于点 (π12, 0) 中心对称
C．x ∈ [−π6, π6] 时，值域为 [0, 2]
D．方程 f(x) = m 在 [0, π2] 上有且仅有一个实根，则 m ∈ [−√3, √3)
答案　AC　两条虚线合成实线，再看区间
第 11 题　多选题 · 6 分
记锐角 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，已知 a = 4，且 c² − 4√3c + 16 = b²，则（　　）
A．B = π6　　B．b sin A = 2
C．b ∈ [2, 4√33)　　D．b + c ∈ (2 + 2√3, 4√3)
答案　ABD　拖 c：条件式其实就是余弦定理，b sin A 一直等于 a sin B
6.00
第 12 题　填空题 · 5 分
已知 sin(π12 − α) = √33，则 sin(π3 + 2α) = ________．
答案　13
π3 + 2α = π2 − 2(π12 − α)：目标角与已知角的二倍角互余
第 13 题　填空题 · 5 分
斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ⋯，a1 = 1，a2 = 1，an = an−1 + an−2（n ≥ 3）．
（i）a11 = ______；（ii）设前 n 项和为 Sn，则 S2023 − a2025 = ______．
答案　89　；　−1　Sn + 1 = an+2
第 14 题　填空题 · 5 分
当 a > 0，x > 0 时，不等式 aex−1 − ln x + ln a ≥ 1 恒成立，则 a 的取值范围是 ______．
答案　[1, +∞)
拖到 a = 1：两条曲线刚好相切，再小就钻到下面去了
0.70
第 15 题　解答题 · 13 分
已知正项数列 {an}，Sn 是前 n 项和，a1 = 1 且满足 Sn + Sn−1 = an²（n ≥ 2）．
（1）求 {an} 的通项公式；
（2）bn = (−1)n(an+1an − anan+1)，Tn 为 {bn} 前 n 项和，求 Tn．
答案　an = n；Tn = −1 − (−1)n+1n + 1
第 16 题　解答题 · 15 分
在 △ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，已知 cos Bb = cos A − 3cos C3c − a．
（1）求 ca 的值；
（2）若点 D 在边 AB 上，且 BD = 2DA，CD = 2，AC = √11，求 △ABC 的面积．
答案　(1) 3　　(2) 3√74
2.00
2.60
第 17 题　解答题 · 15 分
已知 f(x) = 2a ln x + x²2 − (a + 2)x（a ∈ R）．
（1）讨论 f(x) 的单调性；
（2）若任意 x1, x2 ∈ (0, +∞)（x1 ≠ x2），f(x2) − f(x1)x2 − x1 > 3 − a，求 a 的取值范围．
答案　(1) f′(x) = (x − 2)(x − a)x，按 a 与 0、2 的大小分类讨论　(2) a > 258
3.0
第 18 题　解答题 · 17 分
已知函数 f(x) = ln x − ax − 1（a ∈ R）．
（1）若 f(x) ≤ 0 在 (0, +∞) 上恒成立，求 a 的取值范围；
（2）若 x1, x2 是 f(x) 的两个零点，证明：f′(x1x2) < 1e⁴ − a．
答案　(1) a ≥ 1e²　(2) 即证 x1x2 > e4
右图读数：两根之积一直在 e⁴ ≈ 54.6 上方
0.090
第 19 题　解答题 · 17 分
若将 y = f(x) 图象绕原点逆时针旋转 α（0 < α ≤ π2）后，所得曲线仍是函数的图象，则称 f(x) 为“α 旋转函数”．
（1）判断 y = √3x 是否为“π6 旋转函数”，并说明理由；
（2）已知 f(x) = ln(2x + 1)（x > 0）是“α 旋转函数”，求 tan α 的最大值；
（3）若 g(x) = m(x − 1)ex − x ln x − x²2 是“π4 旋转函数”，求 m 的取值范围．
判据：旋转后任意竖直线最多交一个点，等价于切线方向转过去不会变成竖直
答案　(1) 不是（转 30° 后是直线 x = 0）　(2) 12
20°

答案表

题号12345678
答案BCCBCBDA
题号91011121314——
答案BCACABD1389；−1[1,+∞)——
解答题只给结论，过程留在黑板上：15 题 an = n；16 题 ca = 3、面积 3√74；17 题 a > 258；18 题 a ≥ 1e²；19 题 (1) 不是，(2) tan α ≤ 12。
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